“Voy a amar a solas, deprimido

no sabrán jamás que sueño hallarte,

perímetro difícil, escondido

que en mis neuronas late…

Oscuro el camino para ver

los secretos que tú ocultas

¿hallarlos podré…?”

(poema para recordar las primeras cifras del numero Pí)

La historia de Pi

El hallazgo del número Pi es un camino largo y laborioso. Para observar las primeras observaciones a este enigma tenemos que remontarnos al 1.800 a.n.e. cuando en el papiro Rhind se afirma que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9. Pero no en todos los lugares se empleaba este modo; en Mesopotamia se empleaban valores equivalentes a 3, dándose algunos casos en los que llegaron a aplicar valores más aproximados como puede ser 3,125. Sin embargo no tardó en invalidarse esta cifra, que por otra parte les acercaba mas a la que se emplea hoy día, para regresar a utilizar el 3, y con ello perdiendo precisión.

arquimedesUn poco más adelante, en el siglo III a.n.e. Arquímedes determinó su valor en el intervalo comprendido entre 3 10/71 como mínimo y 3 1/7 como máximo. El método consistía en circunscribir  polígonos regulares en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Para que pueda observarse mejor como fue desarrollando dicho cálculo comenzó aplicando hexágonos y acabó utilizando uno de 96 lados.

Siguiendo el recorrido del tiempo, ya en nuestra era en el año 20,  Vitruvio calculó su valor en 25/8 midiendo la distancia recorrida por una rueda durante una revolución por una rueda de diámetro conocido.

En el siglo II Ptolomeo va asignando valores por aproximaciones y fija la cifra más universal y reconocida del número Pi, la que nos graban en la cabeza durante nuestra formación escolar: 3,1416.

Sin embargo, y pese a que en sus inicios parezca ser lo contrario, el número Pi no es exclusividad de Occidente. Hacia el año 120, el astrónomo chino Zhang Heng usó la aproximación √10 deduciéndolo  entre el volumen de un cubo y su esfera inscrita. Un siglo más tarde Wang Fang lo valoró en 3,155555 y hacia el año 263 Liu Hui sugirió 3,14 como buena aproximación usando polígonos de 96 y 192 lados. Sin embargo no se quedó ahí y más adelante  completaría la cifra en 3,14159 con un polígono de nada más y nada menos que de 3.072 lados.

A finales del s.V Zung Chongzhi asumió un valor por defecto (3,1415926) y un valor por exceso (3,1415927) y a ello añadió dos aproximaciones 22/7 y 355/113, esta última cifra  no sería superada hasta el siglo XV. Hacia las mismas fechas pero en la India Aryabhata estimó el valor en 3,1416 con un polígono de 384 lados.

En el ámbito de las matemáticas islámicas en el siglo IX Al-Jwarizmi escribe en su “Álgebra” que “el hombre práctico usa 22/7, el geómetra 3 y el astrónomo 3,1416”.

El renacimiento marca un antes y un después en las ciencias europeas, pues es a partir de siglo XII cuando se introduce el uso de cálculos con cifras arábigas, facilitándose la labor, y ganando en precisión. Esto provocó una revolución importante en torno al valor de π pues como hemos visto, hasta esta fecha oriente le iba ganando la partida a occidente pese a que hubiera sido bajo el auspicio de la civilización griega el inicio del estudio por este número. Así fue como Fibonacci amplificaría el método de Arquímedes dando un intervalo más estrecho. Sin embargo aún faltaban algunos avances desde oriente…

Pues algunos años más tarde, durante el siglo XV, cuando al inicio de siglo Madhava llegó a una aproximación exacta de 11 dígitos (3,14159265359) siendo la primera persona hasta la fecha  que había tratado de aproximarse a π empleando series. Y unos años más tarde dentro del mismo siglo el matemático persa Ghiyath al-Kashi calculó hasta 9 dígitos, empleando, esta vez, una base numérica sexagesimal, lo que nos da una aproximación de 16 dígitos decimales (2π=6,2831853071795865).

A principios del siglo XVII sería el turno de Viète, el que tampoco quería quedarse atrás utilizando polígonos de pocos lados, lo hizo con uno de 393.316 lados lo que le valió para aproximarse a 3,141592653.

En 1610 Ludolph van Ceulen llegó a los 35 primeros decimales. Así es como a partir de esta cifra Newton, 55 años más tarde desarrolló su propia serie. Sin embargo, cabe recalcar que 10 años antes John Wallis había desarrollado el producto que llevaría su nombre, y dicho sea de paso, le facilitó mucho las cosas al bueno de Isaac.

Pero el idilio entre el siglo XVII y el número π no termina aquí, ni tampoco dentro del ámbito del academicismo británico. Leibniz, el cual no era británico sino sajón, desarrolló su propia serie en 1682, valiendo de punto de inflexión para que Abraham Sharp, este sí que bajo la corona británica, en 1699 hallaría una precisión de 71 dígitos decimales utilizando la serie de Gregory (¡y sin calculadora!). Pero Thomas de Lagny, un francés como epilogo a los avances ingleses, en 1720 llegaría a los 127 dígitos. En este momento parecía el zarpazo final, pero cabe recalcar que no tardó en descubrirse que “sólo” eran correctos los 112 primeros.

Dos años después contraatacaba oriente y el japonés Takebe, llegó a los 41 decimales. Esta cifra puede parecer muy inferior respecto a la de de Lagny, pero llegó a tal extensión de números aplicando el modelo que sería iniciado por Arquímedes; es decir, inventando polígonos con un sinfín de lados. Por lo que visto así, la cifra de Takebe se agranda mucho más de lo que parecía en un principio.

Pero fue en pleno 1789, mientras en Francia se pasaba por la cuchilla a todo aquel que tuviera el más mínimo asomo de monarquía, cuando el esloveno Jurij Vega mediante la fórmula de John Machin logró llegar hasta los 140 decimales, siendo el primero en alcanzar esta cifra, de estos 140 solo eran correctos los 126 primeros. No importaba, aunque fueran solo 126 había llegado más lejos que nadie recorriendo el número π.  Mantendría este record hasta que en 1841 William Rutherford llegase a los 208 (152 primeros correctos).

Sin embargo, aún no estaba todo escrito. Si hay que resaltar a alguien “π” por su entusiasmo y dedicación es a Williashanksm Shanks, de nuevo un inglés. Pero esta vez no estamos hablando de ningún matemático, ni físico ni siquiera astrónomo, si algo destaca de Shanks es que se trataba de un aficionado a las matemáticas que dedicó nada más y nada menos que veinte años de su vida para culminarlos en 1873 y llegando a los… ¡707 decimales! Sin embargo D.F. Ferguson, un año antes de que acabase la II Guerra mundial, encontró un error en el decimal número 528, por lo que a partir de ese dígito el resto estaban equivocados. Sin embargo no se quiso quedar ahí enturbiando el trabajo de Shanks y tres años más tarde, ya con un ambiente menos tenso por Europa, se dedicó a recalcularlo llegando a los 808 decimales. Eso sí, como ya la tecnología lo permitía utilizó una calculadora mecánica, está claro que nadie igualaría la hazaña de William Shanks.

A partir de 1949 cambiaría para siempre el recorrido del número Pi, más aún de lo que lo hiciera con la introducción de números arábigos en occidente, pues con el desarrollo de la computación se ha disparado la velocidad y la precisión del cálculo. Pero eso es otra historia y seguramente mucho menos apasionante por los retos a los que debieron de enfrentarse todos los protagonistas aquí descritos. Como ejemplo cabe citar que en 2011, de nuevo un japonés, Shigeru Kondo alcanzó los 10 000 000 000 000 decimales.

Sin embargo, y en contra de lo que pueda parecer, no todo está ya dicho en torno a π y aún existen algunas cuestiones abiertas; cada uno de los dígitos decimales ¿tiene aparición infinita entre los decimales? O la cuestión de Brower ¿existe alguna posición donde exista una sucesión de mil ceros consecutivos? ¿Tiene cada uno de los diez dígitos del sistema decimal la misma probabilidad de aparición en la exposición decimal?

Como se puede comprobar a lo largo de la historia de su descubrimiento, y de los siguientes avances respecto a π este posee determinadas características que merecen ser tenidas en cuenta; por una parte se trata de un número irracional, lo que le confiere una serie de particularidades matemáticas bastante peculiares. Por si eso no fuera suficientes los números con carácter irracional se engloban dentro de dos tipos: algebraicos y trascendentes, este último es el que no interesa por ser dentro de donde se encuadra nuestro protagonista.

Los números trascendentes no pueden representarse mediante un número finito de raíces libres; provienen de funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas, exponenciales…). También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva un periodo definido. A todo esto, y por si lo anterior no fuera suficiente para volverse loco, no puede ser solución de ninguna ecuación algebraica.

Por lo tanto, cuando hablamos del número Pi, lo estamos haciendo de un número irracional cuyos decimales se suceden  hasta el infinito y que no se repiten periódicamente ni parecen seguir ningún tipo de patrón lógico.

Rubén Blasco

Referencias

es.wikipedia.org

Los Simpson y las matemáticas,  Simon Singh

elrincondelacienciaytecnologia.blogspot.com.es

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